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Enunciado
U(x,y)=ln(1+xy), con consumo actual (10,10). Hallar U_x, justificar que disminuye al aumentar x y que aumenta al aumentar y.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Utilidad marginal de A
U_x=y/(1+xy); U_x(10,10)=10/101>0.
Rendimiento marginal decreciente
U_xx=−y²/(1+xy)²<0.
Efecto del bien B
U_xy=1/(1+xy)²>0.
Ampliación · signos y complementariedad marginal
U_x=y/(1+xy)>0 U_xx=-y²/(1+xy)²<0 U_xy=1/(1+xy)²>0.
En (10,10), U_x=10/101. El signo negativo de U_xx refleja utilidad marginal decreciente de x; el signo positivo de U_xy indica que más y eleva la utilidad marginal de x.
Método utilizado
Derivadas parciales de primer y segundo orden
Resultado final
U_x=y/(1+xy)>0. U_xx=−y²/(1+xy)²<0 y U_xy=1/(1+xy)²>0. En (10,10), U_x=10/101.
Interpretación del resultado
Más consumo de A aumenta la utilidad, pero con utilidad marginal decreciente respecto a A. Más consumo de B eleva la utilidad marginal de A, por lo que los bienes son complementarios en ese sentido marginal.