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Enunciado
Estudiar lim_(x,y)→(0,0) de: a) (x+2)/(y²−2xy+4). b) x²+y². c) 3y²−x². d) e^{−2(x²+y²)}. e) x sen(1/y). f) 1/(xy). g) (x+2)/(e^{2x}−e^y). h) |x−y|.
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Desarrollo paso a paso
Resultados
a) Denominador→4 y numerador→2 ⇒ 1/2. b) x²+y²→0. c) 3y²−x²→0. d) exp(−2(x²+y²))→1. e) |x sen(1/y)|≤|x|→0. f) sobre y=x: 1/x²→+∞; sobre y=−x: −1/x²→−∞. g) denominador→0 mientras numerador→2; cambia el comportamiento según el camino. h) |x−y|≤|x|+|y|→0.
Ampliación · cómo justificar los límites delicados
|x·sen(1/y)| ≤ |x| → 0. 1/(xy): y=x ⇒ +∞; y=-x ⇒ -∞.
En el cociente (x+2)/(e^(2x)-e^y), la recta y=2x es precisamente parte del conjunto donde el denominador vale cero, por lo que no puede usarse como camino del dominio. Lo correcto es acercarse a esa recta desde ambos lados: el denominador cambia de signo y el cociente toma magnitud arbitrariamente grande con signos opuestos. Por tanto no existe límite finito.
Método utilizado
Continuidad, acotación y comparación de caminos
Resultado final
a) 1/2. b) 0. c) 0. d) 1. e) 0. f) No existe/ diverge. g) No existe. h) 0.
Interpretación del resultado
En varias variables, para negar un límite basta encontrar dos caminos con comportamientos incompatibles; para probarlo suelen usarse continuidad o acotaciones.