Límites y continuidad en funciones de varias variables
Concepto de límite doble, propiedades, indeterminaciones, continuidad en un punto y continuidad en un conjunto.
Concepto de límite doble
Intuitivamente, una función z=f(x,y) tiene límite L cuando (x,y) tiende a (a,b) si, al aproximarse el punto (x,y) a (a,b), los valores de f(x,y) se aproximan a L.
Los apuntes denominan a esta expresión límite doble.
Propiedades recogidas en el tema
- Unicidad: si el límite existe, es único.
- Descomposición del dominio: si el dominio se expresa como unión de partes, el límite global existe con valor L cuando los límites correspondientes por esas partes coinciden en L.
- Teorema de acotación: si g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y) en un entorno y g y h tienen el mismo límite L, entonces f también tiene límite L.
- Operaciones: suma, resta, producto, cociente, potencias y operaciones análogas siguen las mismas reglas formales que en una variable cuando proceda.
- Indeterminaciones: el material indica que son las mismas que en funciones de una variable.
- Generalización: estas propiedades se extienden a funciones de más de dos variables.
No hay Regla de L’Hôpital en varias variables.
Continuidad en un punto
Una función z=f(x,y) es continua en (a,b) si se cumplen las tres condiciones del documento:
- Existe f(a,b), es decir, (a,b) pertenece al dominio.
- Existe el límite de f(x,y) cuando (x,y)→(a,b).
- Ese límite coincide con f(a,b).
Se dice que f es continua en un conjunto D cuando es continua en cada punto de D.
Operaciones con funciones continuas
Si f y g son continuas en (a,b) —o en D—, los apuntes recogen que f±g, f·g y f/g (cuando g no se anula) también son continuas. Si h es continua en f(a,b), la composición h(f(a,b)) es continua en el punto correspondiente.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que un límite doble exista?
Que al acercarse (x,y) a (a,b), la función se aproxima a un único valor L.
¿Se puede usar L’Hôpital en límites de varias variables?
Los apuntes indican expresamente que no hay Regla de L’Hôpital en varias variables.
¿Cuándo es continua una función de dos variables en un punto?
Cuando está definida en el punto, existe el límite doble y ese límite coincide con el valor de la función.
Ejemplos resueltos: caminos, acotación y fronteras por trozos
El nuevo lote reúne tres pruebas muy útiles. Para x·sen(1/y) se usa directamente |x·sen(1/y)|≤|x|, que obliga al límite 0. Para 1/(xy), los caminos y=x y y=-x producen signos opuestos y descartan el límite.
También aparece una función por trozos con frontera x=y: una expresión da 0 sobre la frontera y la otra se aproxima a 2a en (a,a). Sólo en a=0 coinciden. Es el patrón general: cada rama puede ser continua y, aun así, fallar el empalme.
Precaución: en cocientes hay que mantener los caminos dentro del dominio. Si una recta anula exactamente el denominador, se estudia el acercamiento desde ambos lados de esa recta, no la recta excluida.