Regla de la cadena y función implícita en varias variables
Derivación de funciones compuestas con una o dos variables intermedias y Teorema de existencia y derivación de la función implícita.
Regla de la cadena con una variable intermedia
Si z=z(x,y), con x=x(t) e y=y(t), y todas las funciones implicadas son diferenciables, entonces z pasa a ser una función de t y:
Regla de la cadena con dos variables intermedias
Si x=x(t,u), y=y(t,u) y z=z(x,y), las parciales de la función compuesta son:
zu=zxxu+zyyu
El tema añade que estos resultados se generalizan a más variables y permiten calcular derivadas de orden superior.
Teorema de existencia de la función implícita
La ecuación F(x,y)=0 define localmente y como función implícita de x alrededor de (x₀,y₀) si se cumplen las condiciones recogidas:
- F(x₀,y₀)=0.
- Fx y Fy existen y son continuas en un entorno del punto.
- Fy(x₀,y₀)≠0.
Entonces la función implícita es diferenciable y:
Tres notas importantes del documento
- El teorema asegura la existencia sólo localmente, en un entorno del punto.
- Las condiciones son suficientes; puede existir o no una función implícita aunque no se cumplan.
- Que exista la función implícita no significa que siempre pueda calcularse de forma explícita.
Preguntas frecuentes
¿Qué calcula la regla de la cadena?
Cómo cambia una función cuando sus variables dependen a su vez de otras variables.
¿Qué condición evita dividir por cero en la derivación implícita?
El tema exige Fy(x₀,y₀)≠0.
¿El teorema de la función implícita da una solución global?
No. Los apuntes subrayan que la existencia garantizada es local.
Cadena e implícita: dos esquemas completos
w=f(u,v), u=x²+2yz, v=y²+2zx\ndw=f_u du+f_v dv.
La forma diferencial permite leer de una vez w_x,w_y,w_z al agrupar los coeficientes de dx,dy,dz. En función implícita, el lote vuelve a insistir en comprobar F_y≠0 o F_z≠0 antes de dividir.
En xy-e^y+e^(x+1)=0, la segunda derivada se obtiene diferenciando también el factor e^y y'; en el punto (0,1) resulta y''=1/e², verificado algebraicamente.