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Enunciado
Para 2≤x≤5 (x en miles de unidades): I(x)=−(11/54)x²+(235/100)x−28/27 y C(x)=(3/4)x+1. Hallar x que minimiza coste, maximiza ingreso y maximiza beneficio.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Coste
C(x)=3x/4+1 es creciente en [2,5], luego su mínimo está en x=2.
2. Ingreso
I′(x)=−11x/27+47/20. Su crítico es x=1269/220≈5,768, fuera del intervalo. Como I crece en [2,5], el máximo está en x=5.
3. Beneficio
B=I−C; B′=−11x/27+8/5=0 ⇒ x=216/55≈3,927.
B″=−11/27<0, máximo.
Método utilizado
Derivación con extremos de intervalo
Resultado final
Coste mínimo en x=2; ingreso máximo en x=5; beneficio máximo en x=216/55≈3,927 miles de unidades.
Interpretación del resultado
El máximo del ingreso sin restricción queda fuera del intervalo; por eso se alcanza en el extremo x=5. El beneficio sí tiene un vértice interior.