Ejercicio de optimización 7 resuelto: Extremos…

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Enunciado

Determinar y clasificar extremos relativos de: a) z=x³+xy²−4x−2y. b) eˣ+eʸ+eᶻ−(x+y)=3 (z definida implícitamente). c) z=x+2y+yu−y²−x²−u². d) z=x³+x²y−z³−4y (z definida implícitamente).

Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación

Desarrollo paso a paso

a) Función polinómica

Los cuatro críticos son (−1,−1),(1,1),(−1/√3,−√3),(1/√3,√3). El determinante de la Hessiana es 8 en los dos primeros y −8 en los otros dos; fxx distingue máximo y mínimo.

b) Relación implícita

De e^z=3+x+y−e^x−e^y. Las condiciones z_x=z_y=0 dan x=y=0 y z=0. Como e^x≥1+x y e^y≥1+y, e^z≤1 ⇒ z≤0: es máximo global.

c) Cuadrática cóncava

z_x=1-2x; z_y=2+u-2y; z_u=y-2u.

Se obtiene x=1/2,u=2/3,y=4/3. La Hessiana es negativa definida ⇒ máximo global; z=19/12.

d) Relación z+z³=x³+x²y−4y

Los críticos satisfacen x²=4 y 3x+2y=0: (2,−3,z₀) y (−2,3,−z₀), donde z₀ es la raíz real de z³+z=8 (z₀≈1,83375). La Hessiana implícita tiene determinante negativo en ambos ⇒ sillas.

Ampliación · Hessiana del apartado c)

H=[[-2,0,0],[0,-2,1],[0,1,-2]]. Δ1=-2<0, Δ2=4>0, Δ3=-6<0.

Los menores principales alternan de signo, por lo que la Hessiana es negativa definida en todo el dominio. El único punto crítico (1/2,4/3,2/3) es, por tanto, máximo global.

Método utilizado

Gradiente, Hessiana e función implícita

Resultado final

a) Máx. local (−1,−1), mín. local (1,1), sillas (−1/√3,−√3) y (1/√3,√3). b) máximo global z=0 en (x,y)=(0,0). c) máximo global en (x,y,u)=(1/2,4/3,2/3), z=19/12. d) dos críticos implícitos, ambos de silla; no hay extremos.

Interpretación del resultado

El ejercicio mezcla funciones explícitas e implícitas; en los casos implícitos se usa diferenciación implícita.