✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Los ríos se aproximan por y=x² y x−y−2=0. Hallar los puntos de ambas curvas que deben unirse mediante el canal rectilíneo de menor longitud.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Distancia a la recta
Para P=(u,u²), la distancia a x−y−2=0 es |u−u²−2|/√2=(u²−u+2)/√2.
2. Minimizar
2u−1=0 ⇒ u=1/2, P=(1/2,1/4).
3. Pie perpendicular
La normal a la recta tiene pendiente −1. Intersectando y−1/4=−(x−1/2) con y=x−2 se obtiene Q=(11/8,−5/8).
Método utilizado
Distancia punto-recta y perpendicularidad
Resultado final
Parábola: (1/2,1/4). Recta: (11/8,−5/8). Longitud mínima 7√2/8.
Interpretación del resultado
El segmento más corto es normal a la recta y parte del punto de la parábola que minimiza su distancia a ella.