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Enunciado
Hallar los extremos de z=−1/x+1/y con 1/x²+1/y²=1/2. Sugerencia: u=1/x, v=1/y.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Cambio
u=1/x, v=1/y ⇒ u²+v²=1/2; z=−u+v.
2. Extremos lineales sobre círculo
El vector (−1,1) tiene norma √2 y el radio es 1/√2, por lo que |z|≤1.
Máximo: (u,v)=(−1/2,1/2) ⇒ (x,y)=(−2,2). Mínimo: el opuesto.
Método utilizado
Cambio de variables y círculo
Resultado final
Máximo z=1 en (x,y)=(−2,2); mínimo z=−1 en (2,−2).
Interpretación del resultado
El cambio u=1/x, v=1/y convierte la restricción en una circunferencia y el objetivo en una función lineal.