✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z sobre x²+y²+z²=5, con x,y,z>0. Estudiar extremos.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Lagrange
1/x=2λx; 1/y=2λy; 3/z=2λz.
De aquí x²=y²=1/(2λ), z²=3/(2λ).
2. Esfera
x²+y²+z²=5 ⇒ λ=1/2. Como x,y,z>0: x=y=1,z=√3.
Método utilizado
Lagrange y concavidad
Resultado final
Máximo global en (x,y,z)=(1,1,√3), con f=(3/2)ln3. No existe mínimo finito en la región positiva abierta.
Interpretación del resultado
Al acercarse a cualquiera de los planos coordenados, algún logaritmo tiende a −∞; por eso sólo existe máximo.