Ejercicio de optimización 35 resuelto: Condiciones de optimalidad en una región no convexa

Desarrollo paso a paso

Región y función

La función es f(x,y)=(x−y)²≥0. Escribimos las restricciones como g₁=1−(x−1)²−(y−2)²≤0, g₂=(x−1)²−y≤0 y g₃=y−5≤0.

Punto A=(2,2)

Es factible y f(A)=0. Como un cuadrado nunca puede ser negativo, A alcanza el menor valor posible. A es mínimo global (y por tanto también local).

Punto B=(3/2,1/4)

En B está activa la frontera parabólica y=(x−1)². La condición de primer orden se cumple y, al restringir la Hessiana de la Lagrangiana a la dirección tangente, la curvatura es negativa. Por tanto B es un máximo local estricto. No es global porque dentro de la región existen puntos con valores mayores de (x−y)².

Punto C=((2−√2)/2,(4+√2)/2)

C está sobre la circunferencia: (x−1)²+(y−2)²=1, mientras que las otras restricciones son inactivas. Para minimización, ∇f+μ∇g₁=0 da μ=2+√2>0, de modo que sí supera la condición de primer orden.

Sin embargo, la Hessiana de la Lagrangiana es H_L=H_f−2μI. En la dirección tangente d=(1,1), se obtiene dᵀH_Ld=−4μ<0, incompatible con un mínimo. Además, desplazarse hacia el exterior de la circunferencia en la dirección radial aumenta f, mientras que desplazarse tangencialmente sobre la frontera la reduce. Por ello C no es ni máximo ni mínimo local.

Conclusión

A: mínimo global
B: máximo local estricto (no global)
C: no es óptimo local

Método utilizado

KKT y análisis local