✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Resolver y clasificar globalmente cuando sea posible ocho problemas: a) max y−x con x²+y²≤2 y y=x²; b) max x con y≥x² y y≤x+2; c) min distancia cuadrática a (4,4) con x≤3,y≥x−2; d) max e^{−x}, x≥0; e) max x+2y, xy=1,x−y≤2,x≥0; f) max x²−2y, x²+y²=16,x+y≥4; g) min (x−1)²+y²+z², x+y−2z²≤0; h) max x+yz, x²+y²+z²≤1.
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Desarrollo paso a paso
Resultados
| a | y=x², x∈[−1,1]; maximizar x²−x ⇒ (−1,1), 2. |
| b | x²≤y≤x+2 ⇒ x∈[−1,2]; máximo x=2, y=4. |
| c | El punto (4,4) proyectado sobre x≤3 es (3,4), compatible con y≥x−2. |
| d | e^(−x) decrece para x≥0: máximo 1 en x=0; ínfimo 0 no alcanzado. |
| e | y=1/x y x−1/x≤2. Cuando x→0⁺, x+2/x→∞. |
| f | En el arco x+y≥4 de la circunferencia, z=17−(y+1)²; máximo y=0,x=4. |
| g | La frontera activa da candidatos (3/4,−1/4,±1/2) de valor3/8 y (1/2,−1/2,0) de valor1/2. |
| h | Para x fijo, yz≤(1−x²)/2; x+(1−x²)/2≤1, igualdad x=1. |
Ampliación · apartado h) y suficiencia global
Para x²+y²+z²≤1, el producto satisface yz≤(y²+z²)/2≤(1−x²)/2. Por tanto:
x+yz ≤ x+(1−x²)/2
=1-(x−1)²/2 ≤1.
La igualdad exige x=1 y y=z=0. Esto prueba directamente, sin depender sólo de condiciones locales, que (1,0,0) es el máximo global único.
Método utilizado
KKT, sustitución y globalidad
Resultado final
a máx (−1,1), z=2. b máx (2,4), z=2. c mín (3,4), z=1. d máx x=0, z=1 (sin mínimo alcanzado). e no existe máximo: z→∞ cuando x→0⁺. f máx (4,0), z=16. g mínimos globales (3/4,−1/4,±1/2), z=3/8. h máximo global (1,0,0), z=1.
Interpretación del resultado
Cada apartado ilustra un fenómeno diferente: frontera compacta, objetivo no acotado, restricciones activas y pares de soluciones simétricas.