✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
C(x,y)=−x+(y−1)²+10 y Q(x,y)=x²+(y−1)². Con x,y>0, minimizar coste para Q=9; decidir globalidad y analizar si un pequeño aumento de producción disminuiría el coste.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Restricción
x²+(y−1)²=9.
2. Coste sobre la circunferencia
C=−x+[9−x²]+10=19−x−x².
Con x>0, se minimiza al máximo x posible: x=3,y=1, C=7.
3. Sensibilidad
Para nivel q, la rama óptima es x=√q,y=1 y C*(q)=10−√q. Así C*′(9)=−1/6.
Método utilizado
Lagrange y sensibilidad
Resultado final
x=3, y=1; coste mínimo 7. Es mínimo global. Un pequeño aumento de producción reduce el coste mínimo: dC*/dQ=−1/6 en Q=9.
Interpretación del resultado
El modelo de costes es atípico: usar más del factor x reduce costes directamente, por eso elevar ligeramente Q puede reducir el coste óptimo.