✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
P(x,y)=xy. a) Obtener P=50 minimizando contaminación I=10x+5y, usando ambos factores. b) Maximizar P con coste C=3x+2y≤120. c) Estimar la nueva producción máxima con coste máximo121.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a) Contaminación
xy=50 ⇒ y=50/x. I=10x+250/x; I′=10−250/x²=0 ⇒ x=5,y=10.
b) Producción
3x+2y=120. Sustituyendo y=(120−3x)/2: P=60x−1,5x², máximo en x=20,y=30.
c) Sensibilidad
P*(B)=B²/24 ⇒ P*′(120)=10. Para B=121 el valor exacto es 121²/24.
Método utilizado
Lagrange y sensibilidad
Resultado final
a) x=5,y=10; contaminación mínima 100. b) x=20,y=30; producción máxima 600. c) con presupuesto121, producción máxima≈610 (linealmente: +10; exacta 14641/24≈610,042).
Interpretación del resultado
El multiplicador del presupuesto en b) vale 10, de modo que una unidad monetaria adicional eleva la producción máxima unas 10 unidades.