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Enunciado
C=x²+2x+y²+2z+100. Demandas: 2x+8y+6z=204 y 2x+4y+2z=92. Sin no negatividad: hallar producción de coste mínimo, coste/globalidad y efecto aproximado de +2 unidades de demanda en sólo uno de los mercados.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Lagrangiana
L=C+λ₁(2x+8y+6z−204)+λ₂(2x+4y+2z−92).
2. FOC
Resolviendo junto con las dos demandas: x=8,y=10,z=18, λ₁=4, λ₂=−13.
3. Coste
C=316. La forma cuadrática restringida al espacio factible tiene curvatura positiva, por lo que es mínimo global.
4. Sensibilidad
ΔC≈−λᵢΔbᵢ. Para +2: mercado1 −8; mercado2 +26.
Método utilizado
Lagrange con dos restricciones y multiplicadores
Resultado final
Producción (x,y,z)=(8,10,18); coste mínimo 316, global. +2 de demanda en mercado1 cambia el coste ≈−8; +2 en mercado2 lo cambia ≈+26. La empresa preferiría el aumento del mercado1 bajo este modelo.
Interpretación del resultado
Los multiplicadores son λ₁=4 y λ₂=−13 con la convención L=C+λ(lhs−demanda); por envolvente, dC*/db=−λ.