Ejercicio de optimización 53 resuelto: Costes con…

✓ Solución revisada y verificada

Enunciado

C=2x+2y, x²+y²=4 y 2x+y≥4. Ignorar no negatividad explícita. Hallar candidatos, clasificarlos local/globalmente, coste mínimo y máximo, sensibilidad si la demanda pasa a 2x+y≥4,1 y confirmar el máximo con Hessiano orlado.

Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación

Desarrollo paso a paso

1. Región

En la circunferencia x²+y²=4 y con 2x+y≥4, los puntos de corte con la demanda son (2,0) y (6/5,8/5).

2. Objetivo

C=2(x+y). El menor x+y factible es 2 en (2,0); el mayor sobre el primer arco es 2√2 en (√2,√2).

3. Sensibilidad

En el mínimo, el multiplicador de 4−2x−y≤0 es μ=2. Si el lado derecho aumenta 0,1: ΔC≈2·0,1=0,2.

Ampliación · multiplicador como sensibilidad

En el mínimo (2,0) la desigualdad 4−2x−y≤0 está activa. Con la convención del desarrollo, su multiplicador es μ=2. Por eso, si el umbral de demanda pasa de 4 a 4+Δb:

ΔC_min \approx μ\cdotΔb =2Δb.

Para Δb=0.1, el coste mínimo aumenta aproximadamente 0.2. Esta es una aproximación local: el multiplicador mide el precio sombra de endurecer marginalmente la restricción activa.

Método utilizado

KKT, globalidad y sensibilidad

Resultado final

Mínimo global en (2,0), C=4. Máximo global en (√2,√2), C=4√2≈5,657. Si la demanda pasa a 4,1, el coste mínimo aumenta aproximadamente 0,2 (≈4,2).

Interpretación del resultado

El mínimo está en la intersección de la circunferencia con la demanda activa; el máximo ocurre donde x+y es máximo sobre la circunferencia y la demanda ya es holgada.