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Enunciado
Costes unitarios: 10 y 20. Demandas: x₁=p₂−p₁; x₂=60+p₁−3p₂. a) Precios que maximizan beneficio. b) Cantidades que minimizan coste para ingreso225. c) Variación del coste mínimo si el ingreso objetivo baja10.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a) Beneficio en precios
π=−p₁²+2p₁p₂−10p₁−3p₂²+110p₂−1200. FOC ⇒ (20,25), Hessiana negativa definida.
b) Invertir demandas
p₁=30−(3/2)x₁−(1/2)x₂; p₂=30−(1/2)x₁−(1/2)x₂.
Con ingreso R=225 y coste 10x₁+20x₂, Lagrange da candidatos (5,5) y (−5,55); el segundo no es económicamente admisible. C=150.
c)
El multiplicador implica dC*/dR≈1, por lo que reducir R en10 reduce C mínimo aproximadamente10.
Método utilizado
Optimización libre, Lagrange y sensibilidad
Resultado final
a) p₁=20,p₂=25; x₁=x₂=5; beneficio máximo75. b) Para ingreso225, coste mínimo en x₁=x₂=5, C=150. c) Si el ingreso objetivo baja10, el coste mínimo baja aproximadamente10.
Interpretación del resultado
El mismo punto (5,5) aparece en los dos problemas por la estructura concreta de demanda y costes; el multiplicador del ingreso en b) tiene valor marginal 1.