✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Optimizar z=x+4y sujeto a xy≤1, x−y=2 y x≥0. a) KKT. b) Candidatos. c) Máximos y mínimos locales. d) Globalidad en región cerrada y acotada.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Igualdad
y=x−2.
2. Desigualdad
xy=x(x−2)≤1 ⇒ x²−2x−1≤0. Con x≥0: 0≤x≤1+√2.
3. Objetivo
z=x+4(x−2)=5x−8.
Es creciente: mínimo en x=0 y máximo en x=1+√2. La compactitud garantiza globalidad.
Método utilizado
KKT y reducción a intervalo
Resultado final
Región equivalente: 0≤x≤1+√2, y=x−2. Mínimo global en (0,−2), z=−8. Máximo global en (1+√2,√2−1), z=5√2−3≈4,071.
Interpretación del resultado
La igualdad permite reducir el KKT a un intervalo compacto. La ausencia de restricción y≥0 en la fuente hace posible el mínimo con y negativo.