Ejercicio T2.8 resuelto: Nueve límites básicos y con indeterminaciones

Desarrollo paso a paso

Resultados y reducción

a) Dividir por x⁴ ⇒ 3/5.
b) Factorizar: numerador=(x−2)[(x−2)²+3], denominador=5(x−2)⁵[(x−2)−1] ⇒ −∞.
c) Grado 5 frente a grado 2 ⇒ +∞.
d) eˣ domina a cualquier polinomio ⇒ 0.
e) x→0⁺: 0; x→0⁻: +∞ ⇒ no existe.
f) ln(1+1/x)~1/x ⇒ 1.
g) x ln x→0 y x→0 ⇒ 0.
h) izquierda=0, derecha=1 ⇒ no existe.
i) izquierda=−1, derecha=1 ⇒ no existe.

Ampliación del apunte: límites oscilatorios y límites laterales

1. El límite de cos(1/x) cuando x→0 no existe

En el esquema manuscrito aparece junto a este límite una anotación “+∞”. Esa lectura no es matemáticamente correcta: cos(1/x) siempre permanece entre −1 y 1 y oscila infinitamente al acercarnos a 0.

xₙ=1/(2πn)      ⇒ xₙ→0 y cos(1/xₙ)=1
yₙ=1/((2n+1)π) ⇒ yₙ→0 y cos(1/yₙ)=−1

Como dos sucesiones que tienden a 0 producen valores límite distintos, lim cos(1/x) no existe.

2. En cambio, lim x·cos(1/x)=0

−1≤cos(1/x)≤1
−|x|≤x cos(1/x)≤|x|
|x|→0  ⇒  x cos(1/x)→0

Es una aplicación directa del teorema del sándwich: la oscilación queda amortiguada por el factor x.

3. El caso 1/x en x=0

lim x→0⁺ 1/x=+∞
lim x→0⁻ 1/x=−∞

Al ser distintos los límites laterales, el límite bilateral en 0 no existe. Es más preciso hablar de límites laterales infinitos que de “indeterminación”.

4. En el infinito

lim x→±∞ 1/x=0

5. Tres cocientes de polinomios del mismo resumen

La parte superior de la página 3 vuelve a aplicar la comparación de grados. Conservamos el desarrollo porque muestra tres situaciones distintas:

lim x→+∞ (x²−4x)/(x³−x)
=lim x→+∞ [x²(1−4/x)]/[x³(1−1/x²)]
=lim x→+∞ (1/x)·(1−4/x)/(1−1/x²)=0

En el segundo cociente, numerador y denominador tienen grado 3 y los coeficientes dominantes son 1 y 2, por lo que:

lim = 1/2

El tercer ejemplo tiene como términos dominantes −2x⁵ en el numerador y −3x² en el denominador:

(−2x⁵)/(−3x²)=(2/3)x³

Por tanto, cuando x→−∞ el resultado correcto es −∞. Si el símbolo final del manuscrito se interpreta como +∞, el signo es un error: una potencia cúbica conserva el signo negativo cuando x tiende a −∞.

Método utilizado

Comparación de grados, exponenciales y límites laterales