Enunciado
D(t)=0 para t=0; D(t)=at²+bt+c para 0<t<3; D(t)=9e^{−(t−3)²/2} para t≥3. a) Hallar a,b,c para que D sea continua en [0,+∞). b) Estudiar la derivabilidad de la función resultante.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Continuidad en t=0
lim t→0⁺ (at²+bt+c)=c=D(0)=0 ⇒ c=0
Continuidad en t=3
9a+3b+c=9 ⇒ 3a+b=3
Derivabilidad
En 0: derivada derecha=b, mientras la rama puntual/constante tiene pendiente 0 ⇒ b=0.
En 3: derivada izquierda=6a+b; derivada derecha de 9e^{−(t−3)²/2} en 3 es 0 ⇒ 6a+b=0.
Con b=0, continuidad daría a=1, pero 6a+b=6≠0.
Método utilizado
Empalme de funciones a trozos
Resultado final
Continuidad: c=0 y 3a+b=3, por lo que queda una familia (a libre, b=3−3a). Derivabilidad en t=0 exige b=0 y en t=3 exige 6a+b=0; estas dos condiciones son incompatibles con 3a+b=3, así que ninguna función de la familia continua es derivable en ambos empalmes.
Interpretación del resultado
El enunciado, tal como aparece en el escaneo, no aporta una tercera condición para fijar a,b,c de forma única. La continuidad determina una familia; al imponer derivabilidad global aparece una incompatibilidad.