✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Estudiar continuidad de: a) (x²−y)sen(xy). b) (x³−5xy²+3xy−1)/(x²+xy−y+2). c) √(xy). d) sen(2^{xy}). e) |x−y|.
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Desarrollo paso a paso
Clasificación
a) Polinomio·sen(polinomio): continua en ℝ².
b) Racional: continua donde el denominador no se anula.
c) √(xy): dominio xy≥0 y continua en él.
d) sen(2^{xy}): composición de funciones continuas, ℝ².
e) |x−y|: continua en ℝ².
Ampliación · continuidad en una frontera por trozos
Los apuntes añaden un ejemplo útil para distinguir continuidad dentro de cada región y continuidad en la frontera:
f(x,y)=x-y, si x-y≥0 f(x,y)=2x, si x-y<0.
Sobre la frontera x=y=a, la primera expresión da 0 mientras que el límite desde la segunda región da 2a. Sólo coinciden si a=0. Así, ambas fórmulas son continuas en sus regiones abiertas, pero el empalme sólo es continuo en el origen.
Método utilizado
Composición y dominio
Resultado final
a), d) y e) son continuas en ℝ². b) es continua donde x²+xy−y+2≠0. c) es continua en su dominio xy≥0.
Interpretación del resultado
Las operaciones y composiciones de funciones continuas conservan continuidad siempre que se respete el dominio, especialmente denominadores y raíces.