✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
w=f(u,v), u=x²+2yz, v=y²+2zx. Hallar w_x,w_y,w_z; du,dv; y dw en función de dx,dy,dz.
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Desarrollo paso a paso
Cadena
w_x=f_u u_x+f_v v_x=2x f_u+2z f_v. w_y=2z f_u+2y f_v. w_z=2y f_u+2x f_v.
Diferenciales
du=2x dx+2z dy+2y dz. dv=2z dx+2y dy+2x dz. dw=f_u du+f_v dv.
Ampliación · cadena escrita como árbol de dependencias
w=f(u,v) u=x²+2yz v=y²+2zx w_x=f_u·2x+f_v·2z w_y=f_u·2z+f_v·2y w_z=f_u·2y+f_v·2x.
La misma información se resume con diferenciales: dw=f_u du+f_v dv. Sustituir du y dv reproduce exactamente los tres coeficientes anteriores de dx,dy,dz.
Método utilizado
Cadena y diferencial total
Resultado final
w_x=2x f_u+2z f_v; w_y=2z f_u+2y f_v; w_z=2y f_u+2x f_v. du=2x dx+2z dy+2y dz; dv=2z dx+2y dy+2x dz; dw=f_u du+f_v dv.
Interpretación del resultado
La forma diferencial y las parciales obtenidas por cadena son dos expresiones equivalentes del mismo cambio local.