✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
z=f(x+2t,y+t). En (u,v)=(3,2): f=1,f_u=5,f_v=−3. a) Hallar dz en (x,y,t)=(1,1,1). b) Aproximar z(1,1,0,8).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Diferencial
du=dx+2dt; dv=dy+dt. dz=5du−3dv=5dx−3dy+7dt.
Aproximación
dt=−0,2 ⇒ z≈1−1,4=−0,4.
Ampliación · linealización de una composición
u=x+2t, v=y+t du=dx+2dt, dv=dy+dt dz=5du-3dv=5dx-3dy+7dt.
Si sólo varía t, la aproximación de primer orden es Δz≈7Δt. El paso manuscrito se interpreta como una linealización: sin conocer la expresión de f no puede obtenerse un valor exacto fuera del punto dado.
Método utilizado
Diferencial y Taylor lineal
Resultado final
dz=5dx−3dy+7dt. z(1,1,0,8)≈1+7(−0,2)=−0,4. No puede conocerse el valor exacto sin conocer f.
Interpretación del resultado
Taylor usa sólo valor y derivadas locales; por eso permite aproximar, pero no reconstruir exactamente una función desconocida.