✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
y se define por xy−e^y+e^{x+1}=0. a) ¿Puede despejarse? b) Hallar y′,y″ y condición. c) y′(0),y″(0). d) Taylor alrededor del origen.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Función F
F=xy−e^y+e^{x+1}.
F_y=x−e^y; se requiere F_y≠0.
Primera derivada
y′=−F_x/F_y=(y+e^{x+1})/(e^y−x).
En el origen
F(0,y)=−e^y+e=0 ⇒ y=1. y′(0)=1+1/e; y″(0)=1/e².
Taylor
y(x)≈1+(1+1/e)x+(1/(2e²))x².
Ampliación · segunda derivada implícita sin saltos
y+x y'-e^y y'+e^(x+1)=0. 2y'+x y''-e^y[(y')²+y'']+e^(x+1)=0, y''=[e^y(y')²-2y'-e^(x+1)]/(x-e^y).
En x=0,y=1, con y'=1+1/e, resulta y''=1/e². La comprobación algebraica confirma el signo positivo antes de formar el término cuadrático de Taylor x²/(2e²).
Método utilizado
Derivación implícita de segundo orden
Resultado final
En x=0 se tiene y=1. y′=(y+e^{x+1})/(e^y−x), con condición x−e^y≠0. y′(0)=1+e^(−1), y″(0)=e^(−2). Taylor: y≈1+(1+e^(−1))x+x²/(2e²).
Interpretación del resultado
Aunque no haya un despeje elemental cómodo, el teorema implícito permite obtener sensibilidades y una aproximación explícita local.