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Enunciado
La producción z satisface z²+4x²+5y²−12xy=0. Calcular productividades marginales y estudiar si los factores son normales o sustitutivos.
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Desarrollo paso a paso
Implícita
F=z²+4x²+5y²−12xy=0. z_x=−F_x/F_z=(6y−4x)/z. z_y=(6x−5y)/z.
Relación
Para z=√(12xy−4x²−5y²): z_xy=16xy/z³>0 si x,y,z>0.
Método utilizado
Función implícita y derivada cruzada
Resultado final
z_x=(6y−4x)/z; z_y=(6x−5y)/z. En la rama z>0, z_xy=16xy/z³>0 (equivalentemente 16xy/(12xy−4x²−5y²)^{3/2}), para x,y>0: los factores son normales/complementarios.
Interpretación del resultado
Una derivada cruzada positiva indica que aumentar un factor eleva la productividad marginal del otro en la región económicamente factible.