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Enunciado
Q=Q(K,L) satisface 100=f((Q−L)/K). a) Hallar Q_K,Q_L. b) Estudiar homogeneidad y efecto de aumentar K,L un 30%. c) Si Q(10,20)=520, hallar marginales e interpretar; aproximar Q(9,21).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Diferenciar
u=(Q−L)/K. Si f′(u)≠0, du=0. Respecto K: KQ_K−(Q−L)=0 ⇒ Q_K=(Q−L)/K. Respecto L: Q_L−1=0 ⇒ Q_L=1.
Homogeneidad
u=c ⇒ Q=L+cK ⇒ grado 1.
Datos
c=(520−20)/10=50 ⇒ Q= L+50K. Q(9,21)=21+450=471.
Ampliación · por qué la aproximación resulta exacta
La ecuación 100=f((Q-L)/K), en una rama regular con f'≠0, obliga a que (Q-L)/K=c sea constante. Con el dato Q(10,20)=520:
c=(520-20)/10=50 ⇒ Q=L+50K.
Así, Q(9,21)=21+50·9=471. La diferencial dQ=50dK+dL no sólo aproxima en esa rama lineal: coincide con el cambio exacto.
Método utilizado
Implícita, homogeneidad y diferencial
Resultado final
Suponiendo f′≠0: Q_K=(Q−L)/K y Q_L=1. La rama es homogénea de grado 1. En (10,20,520): Q_K=50,Q_L=1. Un aumento simultáneo del 30% eleva Q un 30% a 676. dQ≈50(−1)+1(1)=−49 ⇒ Q(9,21)≈471 (en la rama lineal, exacto).
Interpretación del resultado
La ecuación fuerza localmente (Q−L)/K a permanecer constante; por eso la producción tiene rendimientos constantes a escala.