Ejercicio T3.41 resuelto: Demanda de dos bienes: marginalidad, elasticidad cruzada, diferencial y Taylor

Desarrollo paso a paso

1. Escribir la función y fijar el punto de estudio

D(p,q)=1000−(1+p+q)e^(1−q)
(p₀,q₀)=(1,1)
D(1,1)=1000−3e⁰=997

2. Demanda marginal respecto al precio propio p

Al derivar respecto de p, el factor exponencial se considera constante porque sólo depende de q:

D_p(p,q)=−e^(1−q)
D_p(1,1)=−e⁰=−1

Interpretación: alrededor de (1,1), si p aumenta una unidad manteniendo q constante, la demanda de A disminuye aproximadamente en 1 unidad.

3. Demanda marginal respecto al precio del bien alternativo q

Derivamos el producto (1+p+q)e^(1−q):

D_q(p,q)=−[e^(1−q)−(1+p+q)e^(1−q)]
=e^(1−q)[(1+p+q)−1]
=(p+q)e^(1−q)
D_q(1,1)=2

Interpretación: si q aumenta una unidad manteniendo p constante, la demanda de A aumenta aproximadamente en 2 unidades.

4. Relación económica entre los bienes A y B

D_q(p,q)=(p+q)e^(1−q)

En el entorno económico de precios positivos, esta derivada es positiva. Por tanto, cuando sube el precio de B aumenta la demanda de A: A y B son bienes sustitutivos.

5. Elasticidad puntual cruzada

ε_(D,q)=D_q(p,q)·q/D(p,q)
ε_(D,q)(1,1)=2·1/997=2/997≈0,002006

Interpretación: cerca de (1,1), un aumento del 1 % en el precio de B produce aproximadamente un aumento del 0,002006 % en la demanda de A, manteniendo p constante. El signo confirma la sustitución; el tamaño indica una respuesta cruzada muy débil en ese punto.

6. Diferencial de la demanda

dD=D_p dp+D_q dq
En (1,1): dD=−dp+2dq

Para pasar de (1,1) a (1,1;0,9):

dp=1,1−1=0,1
dq=0,9−1=−0,1
dD≈−0,1+2(−0,1)=−0,3
D(1,1;0,9)≈997−0,3=996,7

La diferencial no da el cambio exacto: ofrece la aproximación lineal local.

7. Derivadas de segundo orden

D_pp=0
D_pq=D_qp=e^(1−q)
D_qq=(1−p−q)e^(1−q)

En (1,1):

D_pp=0,  D_pq=D_qp=1,  D_qq=−1

8. Polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de (1,1)

T₂(p,q)=997−(p−1)+2(q−1)
+½[2(p−1)(q−1)−(q−1)²]

Sustituyendo p=1,1 y q=0,9:

T₂=997−0,1−0,2+½[2(0,1)(−0,1)−(−0,1)²]
=996,7+½(−0,02−0,01)
=996,685

9. Comprobación con el valor exacto

D(1,1;0,9)=1000−3e^0,1≈996,684487
Error lineal ≈|996,700000−996,684487|≈0,015513
Error Taylor-2 ≈|996,685000−996,684487|≈0,000513

Revisión del apunte: el desarrollo de derivadas manuscrito es esencialmente correcto, pero el valor final del Taylor debe ser 996,685. Esta comprobación evita arrastrar un posible error aritmético de la hoja.

Método utilizado

Derivadas parciales, elasticidad cruzada, diferencial y Taylor de orden 2