Una matriz organiza números en filas y columnas. En esta lección se conserva la notación y la clasificación completa que aparece en el primer lote de apuntes, acompañada de ejemplos más visuales.
Notación y conjunto de matrices
Una matriz de orden m × n puede escribirse como A = (aij), con i = 1,…,m y j = 1,…,n. El símbolo aij representa el elemento de la fila i y la columna j. El conjunto de matrices reales de orden m × n se denota Mm×n(ℝ).
Fila i-ésima: ai1, ai2, …, ain.
Columna j-ésima: a1j, a2j, …, amj.
Elemento aij: ocupa la fila i-ésima y la columna j-ésima.
Matriz cuadrada
Si m = n, A se llama matriz cuadrada. En ese caso A ∈ Mn×n(ℝ) = Mn(ℝ) y se dice que es de orden n.
es una matriz cuadrada de orden 2.
Matriz fila y matriz columna
Si m = 1, A es una matriz fila o vector fila de ℝn. Si n = 1, A es una matriz columna o vector columna de ℝm.
Matriz nula
Una matriz nula, que denotamos por 0 cuando el orden está claro, es aquella cuyos elementos son todos cero.
Matrices triangulares
Una matriz es triangular superior si todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son cero. Es triangular inferior si son cero todos los elementos situados por encima.
Matriz diagonal y matriz identidad o unidad
Una matriz es diagonal si todos los elementos que no pertenecen a su diagonal principal son cero. La matriz identidad o matriz unidad es la matriz cuadrada diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1. Se representa por I = In ∈ Mn(ℝ).
Igualdad de matrices
Dos matrices A = (aij) y B = (bij) del mismo orden son iguales si y solo si aij = bij para todo i y j. Es decir, deben tener las mismas dimensiones y coincidir elemento a elemento.
Matriz simétrica
Una matriz A es simétrica si coincide con su traspuesta: A = AT.
es simétrica.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa Mₘₓₙ(ℝ)?
Es el conjunto de matrices de m filas y n columnas cuyos elementos son números reales.
¿Qué es una matriz cuadrada?
Una matriz con el mismo número de filas que de columnas.
¿Qué diferencia hay entre una matriz diagonal y una matriz identidad?
Toda matriz identidad es diagonal, pero en una identidad los elementos de la diagonal son todos 1.
¿Cuándo son iguales dos matrices?
Cuando tienen el mismo orden y todos los elementos situados en la misma posición son iguales.
¿Qué es una matriz simétrica?
Es una matriz que coincide con su traspuesta: A = AT.