Esta página recoge todo el contenido sobre determinantes que aparece en el PDF recibido. El escaneo disponible comienza directamente en la propiedad 4 y continúa hasta la 13; la página original anterior no forma parte del archivo recibido.
Se publican íntegramente las propiedades 4–13 visibles en la página original 6. No se reconstruyen ni se inventan las propiedades 1–3 ni la introducción que estarían en la página original 5.
Propiedades al operar con filas o columnas
- Si A tiene una línea —fila o columna— de ceros, entonces |A| = 0.
- Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
- Si una línea se multiplica por un número λ, el valor del determinante queda multiplicado por λ.
- Si a una fila —respectivamente, columna— se le suma otra multiplicada por un escalar, el valor del determinante no varía.
- Si A tiene dos filas —respectivamente, columnas— iguales o una es múltiplo de otra, entonces |A| = 0.
Propiedad 9: determinante de un múltiplo escalar
Si A es cuadrada de orden n y λ es un escalar:
Propiedades 10 y 11: producto y traspuesta
- Para A, B ∈ Mn(ℝ): |AB| = |A||B|.
- El determinante no cambia al trasponer: |AT| = |A|.
Propiedad 12: el determinante de una suma
|A + B| ≠ |A| + |B|.
Propiedad 13: linealidad respecto de una línea
La propiedad 13 expresa que, manteniendo fijas las demás líneas, si una fila o columna es suma de dos líneas, el determinante es la suma de los dos determinantes correspondientes. Para una primera columna, por ejemplo:
Los apuntes indican que se aplica de la misma forma a cualquier otra línea.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si una fila de una matriz es toda cero?
Su determinante es 0.
¿Qué ocurre al intercambiar dos filas?
El determinante cambia de signo.
¿Cambiar una fila sumándole un múltiplo de otra cambia el determinante?
No. Esa operación conserva el valor del determinante.
¿Se cumple |A+B| = |A|+|B|?
No en general.
¿Qué relación hay entre el determinante de A y el de Aᵀ?
Son iguales: |AT| = |A|.
Cómo elegir el método de cálculo de un determinante
Los apuntes comparan cofactores, Sarrus y operaciones elementales. Para M=[[-4,0,-5],[2,3,-2],[1,-2,3]] los tres caminos deben dar el mismo valor:
det(M)=15.
La estrategia eficiente es buscar primero ceros, filas/columnas relacionadas o factores comunes. Desarrollar directamente debe ser la última opción cuando una simplificación previa reduce el trabajo.