Matriz inversa: qué es, cuándo existe y cómo calcularla

Una matriz cuadrada A es invertible, regular o no singular si existe A−1 ∈ Mn(ℝ) tal que A−1A = AA−1 = I. Si no es invertible se llama singular o no regular.

Definición de matriz inversa

A−1A = AA−1 = I

La definición exige que A sea cuadrada y que exista una matriz que actúe como inversa por ambos lados.

Regularidad y determinante

Para A ∈ Mn(ℝ), los apuntes establecen:

A es regular ⇔ |A| ≠ 0

Fórmula de la matriz inversa

Si |A| ≠ 0, la fórmula recogida en los apuntes es:

A−1 = (1/|A|)(Aadj)T = (1/|A|)(AT)adj

Matriz adjunta y menor complementario

Los apuntes denotan por Aadj = ((−1)i+jAij) la matriz formada a partir de los menores complementarios. El menor complementario Aij es el determinante de la submatriz obtenida al eliminar de A la fila i y la columna j.

Propiedades completas de la matriz inversa

  1. Regularidad: A es regular ⇔ |A| ≠ 0; en ese caso se aplica la fórmula anterior.
  2. Unicidad: la matriz inversa, si existe, es única. Además, si AB = I o BA = I, entonces A es invertible y A−1 = B.
  3. Inversa de la inversa: (A−1)−1 = A.
  4. Determinante de la inversa: |A−1| = |A|−1.
  5. Inversa de un producto: si A y B son invertibles, (AB)−1 = B−1A−1.
  6. Inversa de la traspuesta: (AT)−1 = (A−1)T.
  7. Potencias: si A es invertible, Am también lo es para todo entero m > 1, y (Am)−1 = (A−1)m.
  8. Múltiplo escalar: si λ ≠ 0 y A es invertible, λA también es invertible y (λA)−1 = λ−1A−1.
  9. Suma: aunque A y B sean invertibles, A + B puede no serlo; y si lo fuese, en general (A + B)−1 ≠ B−1 + A−1.

Cómo calcular la inversa

El lote contiene dos enfoques: la fórmula mediante determinante, adjunta y menores complementarios, y el método de Gauss mediante operaciones elementales. También puedes comprobar cálculos en la calculadora de matrices.

Preguntas frecuentes

¿Cómo saber si una matriz cuadrada es regular?

Es regular si y solo si |A| ≠ 0.

¿La matriz inversa es única?

Sí. Si existe, es única.

Si AB = I, ¿B es la inversa de A?

Sí. En el contexto de matrices cuadradas del mismo orden, los apuntes establecen que si AB = I o BA = I, entonces A es invertible y A−1 = B.

¿Cuál es el determinante de la inversa?

|A−1| = |A|−1.

¿Cuál es la inversa de un producto?

(AB)−1 = B−1A−1.

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Ejemplo revisado: comprobar primero el determinante

Para la matriz escrita en el resumen

A=[[-1,0,5],[4,6,0],[0,0,3]]

la comprobación correcta es det(A)=-18, no -30. Por tanto sí es invertible y:

A^-1=[[-1,0,5/3],[2/3,1/6,-10/9],[0,0,1/3]]

Verificar AA^-1=I detecta inmediatamente errores de cofactores o aritmética.

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