Formas cuadráticas reales: definición y clasificación
Definición de forma cuadrática real asociada a una matriz simétrica y clasificación en definida, semidefinida e indefinida, con los criterios y observaciones del tema.
Definición de forma cuadrática real
Los dos resúmenes del Tema 4 presentan la misma idea con distinto grado de generalidad. El primero parte de una matriz simétrica; el segundo permite partir de cualquier A∈Mn(ℝ) y, a continuación, muestra cómo sustituirla por una matriz simétrica equivalente para la forma cuadrática.
La forma cuadrática real asociada a A es la función Q:ℝn→ℝ dada por:
El primer resumen escribe la forma con x como vector fila, Q(x)=xAxT; el segundo usa x como vector columna, Q(x)=xTAx. La web muestra preferentemente la segunda convención y deja documentado que ambas proceden de tus apuntes.
El segundo resumen añade la interpretación algebraica: una forma cuadrática es una expresión polinómica en n variables cuyos términos son todos de grado dos.
Ejemplo completo de los apuntes
Para
A =
y x=(x,y)T, el apunte obtiene:
Toda forma cuadrática puede escribirse con una matriz simétrica
El segundo resumen lo muestra expresamente mediante:
En el ejemplo anterior, la matriz simétrica equivalente es:
(A+AT)/2 =
y produce la misma expresión x²+5xy+4y².
Clasificación de las formas cuadráticas
xTAx > 0 para todo x≠0.
xTAx ≥ 0 para todo x y existe algún x≠0 para el que xTAx=0.
xTAx < 0 para todo x≠0.
xTAx ≤ 0 para todo x y existe algún x≠0 para el que xTAx=0.
No es de ninguno de los tipos anteriores: xTAx cambia de signo según los valores de x.
Criterios para decidir la clasificación
Los apuntes recogen varios criterios complementarios: signos de los menores principales, rango de A, coeficientes de determinados polinomios y signos de sus raíces. La guía específica de clasificación conserva todos ellos y también los casos en los que el propio resumen deja una DUDA que debe resolverse con otros criterios.
Si A∈Mn(ℝ), Ai denota el determinante de la submatriz principal de orden i que empieza en a₁₁.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una forma cuadrática real?
Una función Q:ℝⁿ→ℝ dada por Q(x)=xᵀAx. El segundo resumen añade que es una expresión polinómica cuyos términos son todos de grado dos.
¿Es necesario que la matriz inicial sea simétrica?
No para escribir Q(x)=xᵀAx. Los apuntes muestran que siempre puede sustituirse A por la matriz simétrica (A+Aᵀ)/2 sin cambiar la forma cuadrática.
¿Cuándo es semidefinida positiva?
Cuando xᵀAx≥0 para todo x y existe al menos un vector no nulo para el que xᵀAx=0, según la definición detallada del segundo resumen.
¿Qué significa que sea indefinida?
Que no pertenece a ninguno de los cuatro tipos anteriores; los apuntes lo expresan diciendo que xᵀAx cambia de signo según x.