15 ejercicios de formas cuadráticas resueltos
Identificación, representación matricial, clasificación, formas restringidas y aplicaciones económicas. El enunciado permanece visible y la solución completa se abre en un desplegable dentro de cada ejercicio.
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Formas cuadráticas
Enunciado
Indicar cuáles de las siguientes funciones son formas cuadráticas: a) Q:R²→R, Q(x,y)=xy. b) Q:R³→R, Q(x,y,z)=x²−2y²+3z. c) Q:R³→R, Q(x,y,z)=2x+3y−5z. d) Q:R³→R, Q(x,y,z)=2x²−3y²+5xy−3xz+z². e) Q:R²→R, Q(x,y)=x²−3y²+1. f) Q:R⁴→R, Q(x,y,z,t)=ln(x²+y²+z²+t²).
Enunciado
Dada Q(x,y,z)=2x²−3xy+y²+yz−z²: a) comprobar que Q=xᵀAx para A₁=[[2,0,1],[-3,1,-1],[-1,2,-1]], A₂=[[2,-2,0],[-1,1,1],[0,0,-1]] y A₃=[[2,2,-3],[-5,1,3],[3,-2,-1]]; b) dar una expresión genérica para todas las A∈M₃(R) que verifican Q=xᵀAx; c) obtener la única matriz simétrica asociada.
Enunciado
Demostrar que A=[[2,-1],[-1,2]] es definida positiva, a pesar de no ser una matriz positiva entrada a entrada.
Enunciado
Demostrar que A=[[1,2],[2,1]] no es definida positiva, a pesar de tener todas sus entradas positivas.
Enunciado
Clasificar, cuando sea posible, las formas: a) −2x₁²+x₁x₂+x₂². b) x₁²+x₂²−4x₁x₂. c) x₁²+2x₂²−2x₁x₂−2x₂x₃+x₃². d) 5x₁²+5x₂²+2x₃²+8x₁x₂+4x₁x₃. e) −x₁²−x₂²+2x₁x₂+x₁x₃+3x₂x₃+2x₃². f) 3x₁²+6x₁x₄+x₂²+4x₂x₄+2x₂x₃+6x₃x₄+2x₃²+8x₄². g) −2u²−2uv−2v². h) x²+3xy−xz+y²+z². i) 2x²+10y²+3z²−2xy−10yz. j) −2x²−y²−z²−t²+2xz+2xt.
Propiedades de formas cuadráticas
Enunciado
Demostrar que si Q₁ y Q₂ son dos formas cuadráticas de n variables definidas positivas, entonces Q₁+Q₂ también es definida positiva.
Enunciado
Si Q(x)=xᵀAx con A no simétrica, demostrar que Q(x)=xᵀBx con B=(A+Aᵀ)/2, que es simétrica.
Enunciado
Demostrar que si B∈Mₙ(R) es inversible, entonces Q(x)=xᵀBᵀBx es definida positiva.
Enunciado
Demostrar que si A∈Mₙ(R) es definida positiva y P∈Mₙ(R) es inversible, entonces PᵀAP también es definida positiva.
Formas cuadráticas restringidas
Enunciado
Clasificar las formas restringidas:
a) Q=x²−2y²+6xy, S:{x=y}.
b) Q=x₁²+2x₂²−2x₁x₂+x₁x₃+x₃², S:{x₁+4x₃=3x₂}.
c) Q=4xy+4xz+4yz, S:{x+y+z=0}.
d) Q=12x²−y², S:{x=0, y−z=0}.
e) Q=−x²−2y²+4z²−xy, S:{x+y−z=0}.
f) Q=−x²+4z²−xy, S:{x=−4y}.
g) Q=−x²+4z²−xy, S:{x=4y}.
h) Q=x²+y²+4z²−xy, S:{x=−4y}.
Aplicaciones económicas de formas cuadráticas
Enunciado
Un fabricante obtiene B(x,y,z)=5x²+9y²+z²−8yz. Determinar si los beneficios son estrictamente positivos cuando: a) x=2y; b) z=2x; c) x=y=z; d) z=2y.
Enunciado
Una empresa aceitera tiene B(x,y,z)=x²+3y²+4z²+4xy+6yz. Estudia si resulta rentable imponer que la cantidad de aceite de oliva sea igual a la suma de las cantidades de los otros dos tipos: y=x+z.
Enunciado
B(X₁,X₂,X₃)=5X₁²+10X₂²+2X₃²−4X₁X₃−2X₂X₃. a) Obtener su expresión matricial. b) Clasificar la forma mediante valores propios y menores principales. c) Decidir si, bajo el criterio B>0, debe ponerse en marcha el producto.
Enunciado
B(X₁,X₂,X₃)=2X₁²+X₂²+3X₃²−8X₁X₂+X₂X₃. a) Expresar matricialmente. b) Clasificar. c) Indicar si hay combinaciones con beneficio y otras con pérdida. d) Estudiar si B>0 cuando X₃=2X₁. e) Estudiar si B>0 cuando X₂=2X₁.
Enunciado
Un nuevo impuesto T se relaciona con I (pagos por IRPF) y P (pagos por patrimonio) mediante T=5I²−4IP+2P². El gobierno quiere saber si será siempre recaudatorio (T>0). Estudiar su viabilidad.