✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Demostrar que A=[[2,-1],[-1,2]] es definida positiva, a pesar de no ser una matriz positiva entrada a entrada.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Criterio de Sylvester
Δ₁=2>0; Δ₂=det[[2,-1],[-1,2]]=4−1=3>0.
Por Sylvester, A es definida positiva.
2. Comprobación directa
xᵀAx=2x²−2xy+2y²=(x−y)²+x²+y²>0 para (x,y)≠(0,0).
Método utilizado
Criterio de Sylvester / valores propios
Resultado final
A es definida positiva: sus menores principales líderes son Δ₁=2>0 y Δ₂=3>0; equivalentemente, sus valores propios son 1 y 3.
Interpretación del resultado
Tener una entrada negativa no impide la definitud positiva. Lo relevante es el signo de xᵀAx para todo x≠0, no el signo individual de cada elemento.