✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Dada Q(x,y,z)=2x²−3xy+y²+yz−z²:
a) comprobar que Q=xᵀAx para A₁=[[2,0,1],[-3,1,-1],[-1,2,-1]], A₂=[[2,-2,0],[-1,1,1],[0,0,-1]] y A₃=[[2,2,-3],[-5,1,3],[3,-2,-1]];
b) dar una expresión genérica para todas las A∈M₃(R) que verifican Q=xᵀAx;
c) obtener la única matriz simétrica asociada.
a) comprobar que Q=xᵀAx para A₁=[[2,0,1],[-3,1,-1],[-1,2,-1]], A₂=[[2,-2,0],[-1,1,1],[0,0,-1]] y A₃=[[2,2,-3],[-5,1,3],[3,-2,-1]];
b) dar una expresión genérica para todas las A∈M₃(R) que verifican Q=xᵀAx;
c) obtener la única matriz simétrica asociada.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Comprobar las tres matrices
En xᵀAx, los coeficientes de los términos cruzados son aᵢⱼ+aⱼᵢ. En A₁, A₂ y A₃ se obtiene siempre: a₁₁=2, a₂₂=1, a₃₃=−1, a₁₂+a₂₁=−3, a₁₃+a₃₁=0 y a₂₃+a₃₂=1. Por tanto las tres producen 2x²−3xy+y²+yz−z².
2. Parte simétrica
S=(A+Aᵀ)/2 = [[2,-3/2,0],[-3/2,1,1/2],[0,1/2,-1]]
3. Todas las representaciones
La matriz general es S+K, donde K es cualquier antisimétrica:
A=[[2,-3/2+α,β],[-3/2-α,1,1/2+γ],[-β,1/2-γ,-1]], α,β,γ∈R.
Método utilizado
Parte simétrica de una matriz y matrices antisimétricas
Resultado final
La matriz simétrica única es S=[[2,-3/2,0],[-3/2,1,1/2],[0,1/2,-1]]. Todas las matrices que representan Q son A=S+K, con K antisimétrica.
Interpretación del resultado
Una forma cuadrática sólo depende de la parte simétrica de A. La parte antisimétrica no contribuye porque xᵀKx=0.