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Enunciado
Clasificar, cuando sea posible, las formas:
a) −2x₁²+x₁x₂+x₂².
b) x₁²+x₂²−4x₁x₂.
c) x₁²+2x₂²−2x₁x₂−2x₂x₃+x₃².
d) 5x₁²+5x₂²+2x₃²+8x₁x₂+4x₁x₃.
e) −x₁²−x₂²+2x₁x₂+x₁x₃+3x₂x₃+2x₃².
f) 3x₁²+6x₁x₄+x₂²+4x₂x₄+2x₂x₃+6x₃x₄+2x₃²+8x₄².
g) −2u²−2uv−2v².
h) x²+3xy−xz+y²+z².
i) 2x²+10y²+3z²−2xy−10yz.
j) −2x²−y²−z²−t²+2xz+2xt.
a) −2x₁²+x₁x₂+x₂².
b) x₁²+x₂²−4x₁x₂.
c) x₁²+2x₂²−2x₁x₂−2x₂x₃+x₃².
d) 5x₁²+5x₂²+2x₃²+8x₁x₂+4x₁x₃.
e) −x₁²−x₂²+2x₁x₂+x₁x₃+3x₂x₃+2x₃².
f) 3x₁²+6x₁x₄+x₂²+4x₂x₄+2x₂x₃+6x₃x₄+2x₃²+8x₄².
g) −2u²−2uv−2v².
h) x²+3xy−xz+y²+z².
i) 2x²+10y²+3z²−2xy−10yz.
j) −2x²−y²−z²−t²+2xz+2xt.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Clasificación
| Forma | Dato decisivo | Clasificación |
|---|---|---|
| a | det=−9/4 | Indefinida |
| b | det=−3 | Indefinida |
| c | autovalores 0,1,3 | Semidefinida positiva |
| d | Δ₁=5, Δ₂=9, det=−2 | Indefinida |
| e | autovalores ≈2.814,−2.155,−0.660 | Indefinida |
| f | autovalores ≈10.757,2.852,0.391,0 | Semidefinida positiva |
| g | Δ₁=−2, Δ₂=3 | Definida negativa |
| h | det=−3/2 | Indefinida |
| i | Δ₁=2, Δ₂=19, Δ₃=7 | Definida positiva |
| j | autovalores −3,−1,−1,0 | Semidefinida negativa |
Comprobación
Para las definidas positivas todos los valores propios son positivos; para las definidas negativas son negativos; las semidefinidas admiten cero pero no cambian de signo; las indefinidas tienen signos opuestos.
Método utilizado
Matriz simétrica, menores principales y signo de los valores propios
Resultado final
a) indefinida; b) indefinida; c) semidefinida positiva; d) indefinida; e) indefinida; f) semidefinida positiva; g) definida negativa; h) indefinida; i) definida positiva; j) semidefinida negativa.
Interpretación del resultado
La clasificación se obtiene por el signo de los valores propios o, cuando el criterio de Sylvester es concluyente, por los menores principales. Los casos semidefinidos presentan al menos un valor propio cero.