✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Clasificar las formas restringidas:
a) Q=x²−2y²+6xy, S:{x=y}.
b) Q=x₁²+2x₂²−2x₁x₂+x₁x₃+x₃², S:{x₁+4x₃=3x₂}.
c) Q=4xy+4xz+4yz, S:{x+y+z=0}.
d) Q=12x²−y², S:{x=0, y−z=0}.
e) Q=−x²−2y²+4z²−xy, S:{x+y−z=0}.
f) Q=−x²+4z²−xy, S:{x=−4y}.
g) Q=−x²+4z²−xy, S:{x=4y}.
h) Q=x²+y²+4z²−xy, S:{x=−4y}.
a) Q=x²−2y²+6xy, S:{x=y}.
b) Q=x₁²+2x₂²−2x₁x₂+x₁x₃+x₃², S:{x₁+4x₃=3x₂}.
c) Q=4xy+4xz+4yz, S:{x+y+z=0}.
d) Q=12x²−y², S:{x=0, y−z=0}.
e) Q=−x²−2y²+4z²−xy, S:{x+y−z=0}.
f) Q=−x²+4z²−xy, S:{x=−4y}.
g) Q=−x²+4z²−xy, S:{x=4y}.
h) Q=x²+y²+4z²−xy, S:{x=−4y}.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Reducir cada restricción
- a) x=y ⇒ Q=5y² ⇒ definida positiva.
- b) x₁=3x₂−4x₃ ⇒ Q=5x₂²−13x₂x₃+13x₃²; menores 5 y 91/4 ⇒ definida positiva.
- c) x=−y−z ⇒ Q=−4(y²+yz+z²) ⇒ definida negativa.
- d) x=0,y=z ⇒ Q=−z² ⇒ definida negativa.
- e) z=x+y ⇒ Q=3x²+7xy+2y²=(x+2y)(3x+y) ⇒ indefinida.
- f) x=−4y ⇒ Q=−12y²+4z² ⇒ indefinida.
- g) x=4y ⇒ Q=−20y²+4z² ⇒ indefinida.
- h) x=−4y ⇒ Q=21y²+4z² ⇒ definida positiva.
Método utilizado
Sustitución de las restricciones y clasificación de la forma reducida
Resultado final
a) definida positiva; b) definida positiva; c) definida negativa; d) definida negativa; e) indefinida; f) indefinida; g) indefinida; h) definida positiva.
Interpretación del resultado
Restringir una forma equivale a estudiar su signo sólo sobre el subespacio permitido. Una forma que era indefinida en todo Rⁿ puede volverse definida al imponer restricciones.