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Enunciado
Un fabricante obtiene B(x,y,z)=5x²+9y²+z²−8yz. Determinar si los beneficios son estrictamente positivos cuando:
a) x=2y;
b) z=2x;
c) x=y=z;
d) z=2y.
a) x=2y;
b) z=2x;
c) x=y=z;
d) z=2y.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a) x=2y
B=29y²−8yz+z². Su matriz [[29,−4],[-4,1]] tiene menores 29 y 13, ambos positivos ⇒ definida positiva.
b) z=2x
B=9x²−16xy+9y². Menores 9 y 17 ⇒ definida positiva.
c) x=y=z
B=7x²>0 para x≠0.
d) z=2y
B=5x²−3y², que toma ambos signos ⇒ indefinida.
Método utilizado
Restricción de una forma cuadrática y criterio de Sylvester
Resultado final
Los beneficios son estrictamente positivos en a), b) y c) para toda producción no nula que cumpla la restricción. En d) no puede asegurarse: la forma restringida es indefinida.
Interpretación del resultado
Las tres primeras políticas de producción mantienen el beneficio positivo bajo el modelo. La cuarta permite combinaciones rentables y combinaciones con pérdidas.