Cómo clasificar formas cuadráticas: menores, polinomios y raíces
Criterios completos del tema para clasificar formas cuadráticas mediante menores principales, coeficientes de polinomios y raíces, incluyendo las proposiciones del apunte.
Esta página fusiona los dos resúmenes recibidos del Tema 4. Se conservan tanto el criterio detallado por rango y menores principales del segundo documento como los criterios adicionales por polinomios y raíces del primero.
Proposición 4.1 detallada: rango y menores principales
Sea A simétrica, rang(A)=r, y sea Ai el determinante de la submatriz principal de orden i que comienza en a₁₁.
1. Caso An≠0: rango completo r=n
El segundo resumen indica que en este caso A nunca es semidefinida positiva ni semidefinida negativa.
- Si A₁>0, A₂>0,…,Aₙ>0 ⇒ A es definida positiva.
- Si A₁<0, A₂>0,… alternando el signo y sin menores nulos ⇒ A es definida negativa.
- En otro caso ⇒ A es indefinida.
2. Caso An=0: rango r<n
El resumen señala que entonces A nunca es definida positiva ni definida negativa.
Si Ai≠0 para i=1,…,r
- Si A₁>0, A₂>0,…,Ar>0 ⇒ A es semidefinida positiva.
- Si A₁<0, A₂>0,…,Ar alterna el signo ⇒ A es semidefinida negativa.
- En otro caso ⇒ A es indefinida.
Si algún Ai=0 para i<r
El segundo resumen no asigna una clasificación automática: indica que debe resolverse con otros criterios. Añade que en algunos casos particulares puede bastar con intercambiar el orden de las variables.
Criterio resumido del primer resumen
El primer documento recibido contenía además una formulación resumida de la Proposición 4.1, que se conserva como parte del archivo documental:
- Si A₁>0, A₂>0,…,An−1>0 y Aₙ≥0 ⇒ A semidefinida positiva.
- Si A₁<0, A₂>0,… alternando el signo, pudiendo anularse solo Aₙ ⇒ A semidefinida negativa.
- Si no se verifica ninguno de esos patrones ⇒ A indefinida.
Para los casos frontera, la formulación detallada por rango del segundo resumen deja explícito cuándo hay que acudir a otros criterios.
Coeficientes de los polinomios de determinantes
El primer resumen introduce:
y utiliza los signos de sus coeficientes no nulos —o los de |A−λI|— en los criterios semidefinidos.
Otros resultados conservados del primer resumen
- A definida positiva ⇒ A semidefinida positiva.
- A definida negativa ⇒ A semidefinida negativa.
- A definida positiva ⇔ todos los coeficientes de |A+λI| son de igual signo ⇔ las raíces de |A−λI| son positivas.
- A definida negativa ⇔ todos los coeficientes de |A−λI| son de igual signo ⇔ las raíces de |A−λI| son negativas.
- A semidefinida positiva ⇔ las raíces de |A−λI| son positivas o nulas.
- A semidefinida negativa ⇔ las raíces de |A−λI| son negativas o nulas.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si det(A) es distinto de cero?
En el criterio detallado del segundo resumen, rang(A)=n y la forma no puede ser semidefinida. Los signos de los menores principales deciden entre definida positiva, definida negativa o indefinida.
¿Qué ocurre si det(A)=0?
El segundo resumen indica que no puede ser definida positiva ni definida negativa. Si los menores hasta el rango son no nulos, su patrón de signos permite decidir los casos semidefinidos; si se anula un menor intermedio, el propio apunte deja el caso como DUDA.
¿Qué puede hacerse cuando un menor intermedio es cero?
Aplicar otros criterios. El apunte añade que en algunos casos particulares puede resolverse la duda intercambiando el orden de las variables.
¿Qué relación recoge el primer resumen entre raíces y semidefinitud?
Semidefinida positiva: raíces de |A−λI| positivas o nulas. Semidefinida negativa: raíces negativas o nulas.
Semidefinición e indefinición: ejemplos que evitan falsos positivos
No basta con encontrar un vector donde Q sea positiva o negativa. Por ejemplo:
Q(x,y,z)=x^2+y^2+2xy+2z^2=(x+y)^2+2z^2 ≥0
Es semidefinida positiva porque puede valer 0 para vectores no nulos, por ejemplo (1,-1,0). En cambio:
Q(x,y)=-2x^2-4xy-2y^2=-2(x+y)^2 ≤0
es semidefinida negativa. La presencia de un menor principal nulo obliga a continuar el análisis; no autoriza por sí sola una clasificación definitiva.