Formas cuadráticas restringidas: definición y clasificación
Definición de una forma cuadrática restringida a un subespacio, clasificación y criterio mediante la matriz ampliada por bloques y sus últimos menores principales.
Subespacio definido por las restricciones
Sea A∈Mn(ℝ) simétrica y W∈Mm×n(ℝ), con rang(W)=m. Las proposiciones del tema consideran m<n. El subespacio es:
La forma cuadrática restringida a S es la función Q:S→ℝ dada por:
Ejemplo de forma cuadrática restringida
El segundo resumen parte de:
A = , Q(x,y)=x²+5xy+4y²
con la restricción x+3y=0. Por tanto x=−3y y, al sustituir:
Con las definiciones del propio tema, de este resultado se deduce que la forma restringida es definida negativa sobre los vectores no nulos del subespacio.
Clasificación sobre S
- Definida positiva: xTAx>0 para todo x∈S, x≠0.
- Semidefinida positiva: xTAx≥0 para todo x∈S y existe algún x∈S, x≠0, para el que xTAx=0.
- Definida negativa: xTAx<0 para todo x∈S, x≠0.
- Semidefinida negativa: xTAx≤0 para todo x∈S y existe algún x∈S, x≠0, para el que xTAx=0.
- Indefinida: no es de ninguno de los tipos anteriores; xTAx cambia de signo según x.
En el primer PDF de 3 páginas aparecía “Semidefinida Positiva” junto a la condición ≤0. Este segundo resumen escribe expresamente Semidefinida Negativa para esa condición. La web conserva la nota sobre la errata del primer documento y utiliza la etiqueta que aparece correctamente en este segundo apunte.
Clasificación por sustitución directa
Los apuntes permiten resolver W x=0, expresar unas variables en función de otras y sustituir en Q(x), como en el ejemplo anterior.
Proposición 4.2: primera matriz por bloques
El segundo resumen define:
B = ∈ Mm+n(ℝ)
y denomina Bi al menor principal de orden i de B. Si m<n:
- Si B1+2m, B2+2m,…,Bn+m tienen todos el signo de (−1)m ⇒ Q restringida a S es definida positiva.
- Si esos menores alternan de signo comenzando por (−1)m+1 ⇒ Q restringida a S es definida negativa.
Proposición 4.3: formulación equivalente
El segundo resumen da a continuación otra matriz:
B = ∈ Mm+n(ℝ)
y escribe el criterio de la siguiente forma:
- Si B1+2m>0, B2+2m>0,…,Bn+m>0 ⇒ Q restringida a S es definida positiva.
- Si B1+2m<0, B2+2m>0,… alternando el signo ⇒ Q restringida a S es definida negativa.
El primer resumen de 3 páginas ya contenía esta segunda formulación, aunque la numeraba como Proposición 4.2. El nuevo resumen permite conservar ambas formulaciones y su numeración tal como aparecen en cada fuente.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa restringir una forma cuadrática?
Evaluar Q(x)=xᵀAx únicamente sobre los vectores x que satisfacen las restricciones Wx=0.
¿Qué ocurre en el ejemplo con x+3y=0?
Los apuntes sustituyen x=−3y y obtienen Q|S=−2y²; con las definiciones del tema, esto corresponde a una forma restringida definida negativa.
¿Qué diferencia hay entre las Proposiciones 4.2 y 4.3 del segundo resumen?
Usan dos matrices por bloques con distinta convención de signo para Wᵀ y expresan el criterio de signos de los menores de forma correspondiente.
¿Por qué la web conserva dos numeraciones para un criterio parecido?
Porque los dos resúmenes físicos no numeran exactamente igual esas formulaciones. Se conserva esa trazabilidad en lugar de borrar una de las fuentes.
Ejemplo de restricción: sustituir antes de clasificar
Cuando las restricciones permiten expresar variables dependientes, se sustituyen en Q y se clasifica la forma reducida. En el ejemplo manuscrito, las relaciones llevan a x1=x3 y x2=-x4; tras sustituir:
Q_restringida=5x3^2-x4^2.
Como toma valores positivos y negativos, la forma restringida es indefinida. La clasificación debe hacerse después de incorporar las restricciones, no sobre la matriz original sin más.