Optimización condicionada: método de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker
Planteamiento general de un problema de optimización condicionada con restricciones de igualdad y desigualdad, función lagrangiana, multiplicadores y condiciones necesarias de Kuhn-Tucker.
Problema general de optimización condicionada
El Tema 7.1 plantea un problema de máximo o mínimo de una función objetivo suficientemente diferenciable F(x₁,…,xₙ), sujeto a m restricciones de igualdad y p restricciones de desigualdad:
Los apuntes suponen que las funciones de las restricciones son suficientemente diferenciables.
Forma general con términos constantes
El lote del Tema 6 y 7.1 escribe el mismo problema en su forma más general, con hᵢ(x)=bᵢ y gⱼ(x)≤cⱼ, donde bᵢ y cⱼ son constantes. El caso hᵢ=0 y gⱼ≤0 usado en los otros resúmenes es el caso particular bᵢ=cⱼ=0.
Función lagrangiana y multiplicadores
Siguiendo exactamente la convención de signos de los apuntes, en la formulación general la función lagrangiana asociada al problema es:
Si bᵢ=cⱼ=0 se recupera la formulación anterior: L=F−Σλᵢhᵢ−Σμⱼgⱼ.
Las constantes auxiliares λ₁,…,λₘ, μ₁,…,μₚ se denominan multiplicadores de Lagrange asociados al problema.
Teorema 1: condiciones necesarias de primer orden de Kuhn-Tucker
El apunte indica que, bajo ciertas condiciones de regularidad, si a=(a₁,…,aₙ) es un máximo local —o un mínimo local, respectivamente— del problema, existen multiplicadores λ y μ únicos que verifican:
- Estacionariedad: a es punto crítico de la función de Lagrange.
- Factibilidad: en la formulación general hi(a)=bi y gj(a)≤cj; en el resumen con términos nulos, hi(a)=0 y gj(a)≤0.
- Complementariedad: μj[gj(a)−cj]=0; cuando cj=0 queda μjgj(a)=0.
- Signo de los multiplicadores de desigualdad: μj≥0 para el caso de máximo y μj≤0 para el caso de mínimo, siguiendo la convención de la lagrangiana usada en los apuntes.
En la formulación general, μⱼ[gⱼ(a)−cⱼ]=0 obliga a que el multiplicador sea cero o que la restricción esté activa, gⱼ(a)=cⱼ. Si cⱼ=0 se obtiene μⱼgⱼ(a)=0.
Cómo estudiar los candidatos del Teorema 1
Una vez hallado un candidato a máximo o mínimo local que cumple las condiciones i), ii), iii) y iv), los apuntes proponen:
Si a es máximo local de L(x₁,…,xₙ), entonces a es máximo local del problema condicionado.
Si a es mínimo local de L(x₁,…,xₙ), entonces a es mínimo local del problema condicionado.
El documento lo deja expresamente como una “duda”, que en algunos casos puede resolverse con el Hessiano orlado.
Esta página conserva la formulación del Tema 7.1: restricciones gⱼ≤0, lagrangiana con signos negativos y la distinta condición de signo de μⱼ para máximo y mínimo.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un problema de optimización condicionada?
El planteado en los apuntes consiste en maximizar o minimizar F(x₁,…,xₙ) sujeto a restricciones de igualdad hᵢ(x)=0 y desigualdad gⱼ(x)≤0.
¿Qué son los multiplicadores de Lagrange?
Son las constantes auxiliares λᵢ y μⱼ que aparecen en la función lagrangiana asociada al problema.
¿Qué expresa la condición de complementariedad?
En la formulación general es μⱼ[gⱼ(a)−cⱼ]=0; si cⱼ=0 se reduce a μⱼgⱼ(a)=0.
¿Qué ocurre si Kuhn-Tucker no permite clasificar el candidato?
El propio resumen lo marca como una “duda” y remite al resultado de segundo orden mediante el Hessiano orlado para algunos de esos casos.
KKT con una restricción cuadrática
En el problema max x+yz sujeto a x²+y²+z²≤1, el candidato (1,0,0) satisface las condiciones KKT. El lote complementa la comprobación local con una cota global:
yz≤(y²+z²)/2≤(1-x²)/2\nx+yz≤1-(x-1)²/2≤1.
La igualdad sólo ocurre en (1,0,0), así que el máximo global queda probado sin depender únicamente de los multiplicadores.