Hessiano orlado: condiciones de segundo orden en optimización condicionada
Cómo aplicar el Hessiano orlado a candidatos que cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker, construir las matrices A, W y B y estudiar sus menores principales.
Teorema 2: condiciones suficientes de segundo orden
Para estudiar algunos candidatos que el Teorema 1 deja como “duda”, el Tema 7.1 introduce el método del Hessiano orlado.
A = HL(a₁,…,aₙ): matriz Hessiana de la función de Lagrange evaluada en el candidato.
W: matriz cuyas filas se forman con las derivadas parciales primeras, evaluadas en a, de todas las restricciones hᵢ y de las restricciones gⱼ para las que μⱼ≠0.
q: número de filas de W.
El apunte construye la matriz orlada:
y denota por Br al menor principal de orden r de B.
Criterio mediante los últimos n−q menores principales
Para un candidato que ya verifica i), ii), iii) y iv) del Teorema 1, y bajo las condiciones de regularidad indicadas en la fuente, si q<n:
Si B1+2q>0, B2+2q>0,…,Bn+q>0, entonces a es un mínimo local del problema.
Si B1+2q<0, B2+2q>0,… alternando el signo, entonces a es un máximo local del problema.
El apunte vuelve a dejar el resultado como una “duda”.
El lote del Tema 6 y 7.1 añade la formulación general: si la forma cuadrática asociada a A=HL(a) restringida al subespacio S={x∈ℝⁿ:WxT=0} es definida negativa, el candidato es máximo local; si es definida positiva, es mínimo local.
Nota para el caso q=n
Cuando q=n no existen los “últimos” n−q menores principales de B. Según los apuntes, puede confirmarse que el candidato es mínimo o máximo local directamente si ya es candidato a mínimo o máximo local según el Teorema 1.
Casos prácticos de Hessiano orlado con restricciones de igualdad
El resumen ampliado desarrolla tres casos concretos. En todos ellos se parte de un punto crítico de la función lagrangiana y se exige que el gradiente de cada restricción implicada no sea nulo en el candidato.
Caso 1: F(x,y) con una restricción g(x,y)=0
Aquí n=2 y q=1, por lo que hay que estudiar un único menor principal, B3, que coincide con el determinante de la matriz orlada:
Si B3<0.
Si B3>0.
El apunte lo deja como “duda”.
Caso 2: F(x,y,z) con una restricción g(x,y,z)=0
Ahora n=3 y q=1. El resumen indica que deben estudiarse dos menores principales, B3 y B4:
Si B3<0 y B4>0.
Si B3>0 y B4>0.
Existe “duda”, según el resumen.
Caso 3: F(x,y,z) con dos restricciones g(x,y,z)=0 y h(x,y,z)=0
En este caso n=3 y q=2; sólo queda un menor principal, B5:
Si B5<0.
Si B5>0.
El documento vuelve a dejar una “duda”.
Los tres ejemplos de Hessiano orlado que aparecen en las páginas originales 2 y 3 del segundo documento se han incorporado completos. El propio escaneo indica que el documento original tiene 4 páginas; la página original 4 no fue recibida.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el Hessiano orlado?
En este tema es la matriz por bloques B construida a partir de 0, W, −Wᵀ y la Hessiana A=HL(a) de la función de Lagrange.
¿Qué restricciones forman parte de W?
Todas las hᵢ y, entre las desigualdades gⱼ, las que tienen μⱼ≠0, según la definición del documento.
¿Qué representa q?
El número de filas de W.
¿Qué ocurre si los menores no siguen ninguno de los patrones?
El Teorema 2 del resumen lo deja como una “duda”.