Óptimos globales condicionados: existencia, semidefinitud y unicidad
Resultados del Tema 7.1 para existencia de máximos y mínimos globales y para determinar globalidad y unicidad mediante la Hessiana de la función de Lagrange.
Teorema 3: existencia de óptimos globales
Si el conjunto factible del problema (I) es acotado, entonces existe máximo y mínimo global de (I).
Teorema 4: cuándo un candidato es global
Para un candidato a=(a₁,…,aₙ) y multiplicadores que verifican i), ii), iii) y iv) del Teorema 1, los apuntes establecen:
Si HL(x₁,…,xₙ) es semidefinida positiva para todo x∈ℝⁿ, entonces a es un mínimo global del problema condicionado.
Si HL(x₁,…,xₙ) es semidefinida negativa para todo x∈ℝⁿ, entonces a es un máximo global.
La clasificación definida/semidefinida enlaza directamente con las guías del Tema 4 ya incorporadas al módulo.
Condición adicional de unicidad
El mismo Teorema 4 añade:
- Si además HL(a) es definida positiva, a es el único mínimo global.
- Si además HL(a) es definida negativa, a es el único máximo global.
La página conserva los Teoremas 3 y 4 completos, incluido el paso de semidefinitud a globalidad y de definitud en el candidato a unicidad.
Preguntas frecuentes
¿Qué condición de los apuntes garantiza existencia de máximo y mínimo global?
El Teorema 3 indica que el conjunto factible sea acotado.
¿Qué condición da un mínimo global?
Según el Teorema 4, que la Hessiana de la lagrangiana sea semidefinida positiva para todo x∈ℝⁿ, partiendo de un candidato que cumple las condiciones del Teorema 1.
¿Cuándo es único el mínimo global?
Cuando, además de la condición global anterior, HL(a) es definida positiva en el candidato.
¿Y para un máximo global?
Se intercambian positiva por negativa: semidefinida negativa para globalidad y definida negativa en el candidato para unicidad.
Sensibilidad y globalidad: qué aporta el multiplicador
En el ejemplo de coste C=2x+2y con circunferencia x²+y²=4 y demanda mínima 2x+y≥4, el mínimo global es (2,0). El multiplicador de la restricción activa vale 2 con la convención usada.
si 4→4+Δb, entonces ΔC_min≈2Δb.
Para Δb=0,1, el coste mínimo aumenta aproximadamente 0,2. Es una lectura local del precio sombra; la globalidad del óptimo se justifica aparte con la geometría de la región y la comparación del objetivo.