✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Tres especies de peces consumen alimentos A, B y C. Especie 1: por día 1 A, 1 B y 2 C. Especie 2: por día 3 A, 4 B y 5 C. Especie 3: por semana 14 A, 7 B y 35 C. Se vierten semanalmente 25.000 A, 20.000 B y 55.000 C; después se pregunta también por 15.000 A, 10.000 B y 35.000 C. Suponiendo que toda la comida se consume, ¿cuántos ejemplares pueden convivir?
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Pasar todos los consumos a una semana
Especie 1: (7,7,14). Especie 2: (21,28,35). Especie 3 ya está semanal: (14,7,35).
2. Primer suministro
7N1+21N2+14N3=25000 7N1+28N2+ 7N3=20000 14N1+35N2+35N3=55000
La matriz tiene rango 2. Tomando N3=t:
N1=40000/7-5t N2=t-5000/7
No negatividad: 5000/7≤t≤8000/7.
3. Segundo suministro
N1=30000/7-5t N2=t-5000/7 N3=t
No negatividad: 5000/7≤t≤6000/7.
4. Restricción de animales enteros
Los miembros izquierdos son múltiplos de 7 si N1,N2,N3 son enteros, pero 25.000, 20.000, etc. no son todos múltiplos de 7. Por tanto el modelo exacto no admite una población entera que agote todo el alimento.
Método utilizado
Sistema lineal con consumos semanales
Resultado final
Primer suministro: (N1,N2,N3)=(40000/7-5t, t-5000/7, t), con 5000/7≤t≤8000/7. Segundo: (30000/7-5t, t-5000/7, t), con 5000/7≤t≤6000/7. No existe una solución exacta con los tres números enteros.
Interpretación del resultado
El modelo tiene rango 2 y por tanto una familia de poblaciones continuas. Además, al convertir a consumo semanal todas las contribuciones son múltiplos de 7, mientras que los suministros indicados no lo son; por eso no puede existir un número entero de peces que consuma exactamente toda la comida bajo tasas exactas.