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Enunciado
ZUMIBAN produce zumos A, B y C. Proporciones (zumo puro, agua, aditivos): A=(2,1,1), B=(5,2,2), C=(3,2,1). Los ingresos son 2x²+y²+2z² y los costes por litro 10, 2 y 3 u.m. De 10 kg de fruta se obtienen 7 litros de zumo puro y hay 20.000 kg de fruta. Ningún tipo de zumo puede superar el 40 % de la producción total. Formular un modelo para producir con beneficio superior a 3000 u.m.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Variables
x, y, z = litros de zumos A, B y C.
2. Beneficio
Ingresos = 2x²+y²+2z² Costes = 10x+2y+3z B(x,y,z)=2x²+y²+2z²-10x-2y-3z
Se exige B(x,y,z)>3000.
3. Restricción de fruta
20.000 kg de fruta producen 14.000 L de zumo puro. Por las recetas, la fracción de puro es 2/4=1/2 en A, 5/9 en B y 3/6=1/2 en C:
0,5x+(5/9)y+0,5z ≤ 14000
4. Diversificación
x≤0,4(x+y+z) y≤0,4(x+y+z) z≤0,4(x+y+z) x,y,z≥0
5. Comprobación de factibilidad
Con x=y=z=30, cada producto es un tercio del total, el consumo de puro es 46,67 L y:
B=2·30²+30²+2·30²-10·30-2·30-3·30=4050>3000
Método utilizado
Modelización no lineal con restricciones de recursos y mezcla
Resultado final
Modelo factible: maximizar o estudiar B(x,y,z)=2x²+y²+2z²-10x-2y-3z, con B>3000, capacidad de zumo puro 0,5x+(5/9)y+0,5z≤14000, x,y,z≥0 y x,y,z≤0,4(x+y+z). Por ejemplo x=y=z=30 satisface las restricciones y da beneficio 4050 u.m.
Interpretación del resultado
El enunciado pide formular el modelo, no una solución única. Las restricciones del 40 % obligan a una producción diversificada; la fruta limita el zumo puro disponible a 14.000 litros. La función de beneficio es no lineal por los términos cuadráticos de ingresos.