✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
a) Para A=[[3,1],[0,2]], hallar ax²+bx+c=|A-xI|. b) Para la matriz n×n con x² en la diagonal y a fuera de ella, generalizar el determinante (el caso n=5 aparece en el enunciado).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Parte a
|A-xI|=(3-x)(2-x)=x²-5x+6
2. Parte b
Escribir A=(x²-a)I+aJ. J tiene autovalores n y 0 (multiplicidad n−1).
3. Generalización
det A=(x²+(n-1)a)(x²-a)^(n-1)
Método utilizado
Polinomio característico y autovalores
Resultado final
a) x²-5x+6. b) det=(x²+(n-1)a)(x²-a)^(n-1).
Interpretación del resultado
La matriz de la segunda parte tiene un autovalor asociado al vector de unos y otro autovalor de multiplicidad n−1 en el subespacio ortogonal.