✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Para A=[[1,0,3],[4,-2,1],[0,0,1]], calcular |A|, |A^-1|, A^-1, (A^T)^-1, |A^2|, A^2, |(A^-1)^3| y |A(A^T)^-1|.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Determinante e inversa
|A|=-2 |A^-1|=1/|A|=-1/2 A^-1=[[1,0,-3],[2,-1/2,-11/2],[0,0,1]]
2. Inversa de la traspuesta
Usamos (A^T)^-1=(A^-1)^T.
(A^T)^-1=[[1,2,0],[0,-1/2,0],[-3,-11/2,1]]
3. Potencia A²
A²=[[1,0,6],[-4,4,11],[0,0,1]] |A²|=|A|²=4
4. Determinantes restantes
|(A^-1)^3|=|A^-1|^3=(-1/2)^3=-1/8 |A(A^T)^-1|=|A|·|(A^T)^-1|=(-2)·(-1/2)=1
Comprobación e interpretación
Todos los resultados son coherentes con las reglas de determinantes de productos, potencias, inversas y traspuestas.
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
El desarrollo manuscrito calcula primero el determinante aprovechando la tercera fila:
|A|=-2.
Como no es cero, existe inversa. Construyendo la matriz de cofactores y trasponiéndola se obtiene:
A^-1=[[1,0,-3],[2,-1/2,-11/2],[0,0,1]].
Luego pueden evitarse cálculos repetitivos mediante propiedades:
|(A^-1)^3|=|A^-1|^3=(-1/2)^3=-1/8 (A^T)^-1=(A^-1)^T |A(A^T)^-1|=|A|·|(A^T)^-1|=(-2)·(-1/2)=1.
La idea didáctica es distinguir qué apartados requieren calcular matrices y cuáles se resuelven sólo con propiedades de determinantes.
Método utilizado
Propiedades de inversa y traspuesta
Resultado final
|A|=-2, |A^-1|=-1/2, A^2=[[1,0,6],[-4,4,11],[0,0,1]], |A^2|=4, |(A^-1)^3|=-1/8 y |A(A^T)^-1|=1.
Interpretación del resultado
Las propiedades det(A^k)=det(A)^k y det((A^T)^-1)=1/det(A) evitan recalcular determinantes grandes. La trasposición no altera el determinante.