✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Decidir: a) ((I-A)^-1)^T=(I-A^T)^-1; b) det[[ax,ay],[az,at]]=a·det[[x,y],[z,t]] para todo a; c) (A^T B^T)^-1=((BA)^-1)^T.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. a
Usar (M^-1)^T=(M^T)^-1 y (I-A)^T=I-A^T.
2. b
det(aM)=a² det(M) para M 2×2
3. c
A^TB^T=(BA)^T; invertir y trasponer conduce al segundo miembro.
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
Las tres cuestiones se revisan usando reglas estructurales:
((I-A)^-1)^T=((I-A)^T)^-1=(I-A^T)^-1. det(aM)=a^n det(M); para 2×2 es a^2 det(M), no a det(M). (A^T B^T)^-1=((BA)^T)^-1=((BA)^-1)^T.
El segundo apartado es precisamente donde tratar un escalar como si el determinante fuera lineal conduce al error.
Método utilizado
Traspuesta e inversa
Resultado final
a) Verdadero cuando existen las inversas. b) Falso en general: aparece a². c) Verdadero cuando existen las inversas.
Interpretación del resultado
Escalar una matriz 2×2 multiplica su determinante por a², mientras que trasposición e inversión se combinan de forma regular.