✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Indicar cuáles de las siguientes funciones son formas cuadráticas:
a) Q:R²→R, Q(x,y)=xy.
b) Q:R³→R, Q(x,y,z)=x²−2y²+3z.
c) Q:R³→R, Q(x,y,z)=2x+3y−5z.
d) Q:R³→R, Q(x,y,z)=2x²−3y²+5xy−3xz+z².
e) Q:R²→R, Q(x,y)=x²−3y²+1.
f) Q:R⁴→R, Q(x,y,z,t)=ln(x²+y²+z²+t²).
a) Q:R²→R, Q(x,y)=xy.
b) Q:R³→R, Q(x,y,z)=x²−2y²+3z.
c) Q:R³→R, Q(x,y,z)=2x+3y−5z.
d) Q:R³→R, Q(x,y,z)=2x²−3y²+5xy−3xz+z².
e) Q:R²→R, Q(x,y)=x²−3y²+1.
f) Q:R⁴→R, Q(x,y,z,t)=ln(x²+y²+z²+t²).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Aplicar la definición
Todos los monomios deben tener grado total 2.
- a) xy tiene grado 2 ⇒ sí.
- b) aparece 3z, de grado 1 ⇒ no.
- c) todos los términos son lineales ⇒ no.
- d) x²,y²,xy,xz,z² tienen grado 2 ⇒ sí.
- e) aparece la constante 1 ⇒ no.
- f) el logaritmo impide que sea un polinomio cuadrático ⇒ no.
Método utilizado
Definición de forma cuadrática y homogeneidad de grado 2
Resultado final
Son formas cuadráticas a) y d). Las funciones b), c), e) y f) no lo son.
Interpretación del resultado
Una forma cuadrática real es un polinomio homogéneo de grado 2: no puede contener términos lineales, constantes ni funciones no polinómicas.