✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Si Q(x)=xᵀAx con A no simétrica, demostrar que Q(x)=xᵀBx con B=(A+Aᵀ)/2, que es simétrica.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Separar A
A = (A+Aᵀ)/2 + (A−Aᵀ)/2 = B+K.
B es simétrica y K antisimétrica.
2. Anular la parte antisimétrica
El escalar xᵀKx cumple (xᵀKx)ᵀ=xᵀKᵀx=−xᵀKx, luego xᵀKx=0. Por tanto xᵀAx=xᵀBx.
Método utilizado
Descomposición en parte simétrica y antisimétrica
Resultado final
B=(A+Aᵀ)/2 es simétrica y xᵀAx=xᵀBx para todo x.
Interpretación del resultado
Toda forma cuadrática tiene una representación simétrica única; cualquier parte antisimétrica de la matriz es invisible para Q.