✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
B(X₁,X₂,X₃)=5X₁²+10X₂²+2X₃²−4X₁X₃−2X₂X₃.
a) Obtener su expresión matricial.
b) Clasificar la forma mediante valores propios y menores principales.
c) Decidir si, bajo el criterio B>0, debe ponerse en marcha el producto.
a) Obtener su expresión matricial.
b) Clasificar la forma mediante valores propios y menores principales.
c) Decidir si, bajo el criterio B>0, debe ponerse en marcha el producto.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Matriz simétrica
A=[[5,0,-2],[0,10,-1],[-2,-1,2]].
2. Menores principales
Δ₁=5; Δ₂=50; Δ₃=55.
Los tres son positivos ⇒ A es definida positiva.
3. Valores propios
El polinomio característico es λ³−17λ²+75λ−55. Sus raíces son aproximadamente 0.912, 5.952 y 10.136, todas positivas.
4. Decisión
Para cualquier X≠0 se cumple B(X)>0. Según el criterio planteado en el ejercicio, sí procede poner en marcha la fabricación.
Método utilizado
Matriz simétrica, valores propios y menores principales
Resultado final
A=[[5,0,-2],[0,10,-1],[-2,-1,2]]. Es definida positiva: menores principales 5, 50 y 55 son positivos; sus valores propios son aproximadamente 0.912, 5.952 y 10.136. Bajo el criterio B>0, el producto es viable para cualquier combinación no nula de materias primas.
Interpretación del resultado
El modelo no presenta regiones de pérdidas: toda combinación no nula de materias primas produce beneficio positivo. Esta conclusión es matemática y depende de que la función propuesta represente correctamente la realidad económica.