✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
B(X₁,X₂,X₃)=2X₁²+X₂²+3X₃²−8X₁X₂+X₂X₃.
a) Expresar matricialmente.
b) Clasificar.
c) Indicar si hay combinaciones con beneficio y otras con pérdida.
d) Estudiar si B>0 cuando X₃=2X₁.
e) Estudiar si B>0 cuando X₂=2X₁.
a) Expresar matricialmente.
b) Clasificar.
c) Indicar si hay combinaciones con beneficio y otras con pérdida.
d) Estudiar si B>0 cuando X₃=2X₁.
e) Estudiar si B>0 cuando X₂=2X₁.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Matriz
A=[[2,-4,0],[-4,1,1/2],[0,1/2,3]].
2. Clasificación global
Δ₁=2>0, Δ₂=−14<0 y det(A)=−85/2. Hay valores propios de ambos signos ⇒ indefinida. Por tanto existen combinaciones con B>0 y otras con B<0.
3. Restricción X₃=2X₁
B=14X₁²−6X₁X₂+X₂².
Matriz [[14,−3],[-3,1]], con menores 14 y 5 ⇒ definida positiva. Sí se garantizan beneficios para producción no nula.
4. Restricción X₂=2X₁
B=−10X₁²+2X₁X₃+3X₃².
Su determinante es −31, luego es indefinida: no puede garantizarse beneficio positivo.
Método utilizado
Clasificación de forma cuadrática y restricciones lineales
Resultado final
La matriz es A=[[2,-4,0],[-4,1,1/2],[0,1/2,3]]. La forma es indefinida. Con X₃=2X₁ la forma restringida es definida positiva; con X₂=2X₁ es indefinida.
Interpretación del resultado
Sin restricciones existen combinaciones con beneficios y otras con pérdidas. La política X₃=2X₁ elimina la zona de pérdidas; la política X₂=2X₁ no lo hace.